Kumaty
Zacznij za darmo

Pierwiastki — zadania na egzamin ósmoklasisty z rozwiązaniami

Pierwiastki pojawiają się w arkuszach najczęściej w dwóch miejscach: przy twierdzeniu Pitagorasa oraz w zadaniach z upraszczaniem wyrażeń. Wystarczy kilka reguł, żeby przestały być problemem — większość uczniów traci punkty nie na samym pierwiastku, a na nieuproszczonym wyniku.

Dział obejmuje pierwiastek kwadratowy i sześcienny, wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka, włączanie czynnika pod pierwiastek, działania na pierwiastkach, usuwanie niewymierności z mianownika w prostych przypadkach oraz zastosowania w geometrii.

Na co uważać? Pierwiastek sumy to nie suma pierwiastków: $\sqrt{9 + 16} = 5$, a nie $3 + 4$. Drugi błąd to pozostawienie wyniku w postaci $\sqrt{72}$ zamiast $6\sqrt{2}$. Trzeci to gubienie znaku wartości bezwzględnej przy $\sqrt{x^2}$. W zadaniach geometrycznych warto od razu sprawdzić, czy wynik ma sens — długość nie może być ujemna.

Najważniejsze wzory i zasady

  • a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} dla a,b≥0a, b \geq 0.
  • ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} dla a≥0a \geq 0 i b>0b > 0.
  • Wyłączanie czynnika: 72=36⋅2=62\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}.
  • a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| — wynik jest zawsze nieujemny.
  • a3\sqrt[3]{a} to liczba, której sześcian jest równy aa; może być ujemna.

Przykładowe zadania

Sześć zadań z banku zadań Kumaty — zamknięte i otwarte. Rozwiązanie rozwiniesz przyciskiem.

Zadanie 1
Zamknięte
średnie· 1 pkt

Wartość wyrażenia ∛64 + ∛8 jest równa …

  1. A.6
  2. B.20
  3. C.7
  4. D.8
Zadanie 2
Zamknięte
średnie· 1 pkt

Wartość wyrażenia ∛125 + ∛125 jest równa …

  1. A.10
  2. B.50
  3. C.11
  4. D.25
Zadanie 3
Zamknięte
średnie· 1 pkt

Wartość wyrażenia √144 + √9 jest równa …

  1. A.15
  2. B.14
  3. C.17
  4. D.36
Zadanie 4
Zamknięte
średnie· 1 pkt

Wartość wyrażenia √49 + √16 jest równa …

  1. A.13
  2. B.28
  3. C.11
  4. D.10
Zadanie 5
Uzupełnij
trudne· 2 pkt

Działania na wyrażeniach z pierwiastkami.

Oblicz: 23+12−27=2\sqrt{3} + \sqrt{12} - \sqrt{27} = ... 3\sqrt{3}

Zadanie 6
Otwarte
trudne· 2 pkt

Własności potęg.

Zapisz w postaci jednej potęgi: 25⋅422^5 \cdot 4^2

Najczęstsze błędy

  • Rozdzielanie pierwiastka na sumę: $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
  • Nieuproszczony wynik, np. $\sqrt{50}$ zamiast $5\sqrt{2}$.
  • Pomijanie wartości bezwzględnej i dopuszczanie ujemnej długości w zadaniu geometrycznym.

Ćwicz dalej w Kumaty

Zadania z tego działu z wyjaśnieniami, powtórki błędów po 1, 3 i 7 dniach oraz próbne egzaminy. Po rejestracji przejdziesz od razu do ćwiczeń z tego działu.

Zacznij za darmo

Najczęstsze pytania

Powiązane działy